罗尔中值定理典型例题

①若要证明,则考虑直接使用罗尔定理，无需构造辅助函数。

例：

设(其中均为常数)，证：方程在内至少有一个解。

思路：经过端点的带入尝试，你会发现无法直接找到函数的零点，因此我们选择求其原函数的两个零点，从而达到我们想要的效果。

解：令。

由罗尔定理可得：即原方程至少存在一个解得证。

②若要证明,则考虑构造辅助函数,然后使用罗尔定理即可。

此方法可以用来证明拉格朗日中值定理，具体证明见中值定理基础篇。

③若要证明或者,则考虑多次使用罗尔定理。

例1：

设三阶可导，,证明:

解:

由于,所以由罗尔定理可得：.

因此，可以得到，进行两次罗尔定理可得。最后，再对使用一次罗尔定理可得，由此得证。

例2：

设上三阶可导，,证明:

思路：虽然这道题没有足够多的零点，但是函数是具体的，可以自行求导寻找零点和驻点。

解：由于使用罗尔定理可得。

由可得：对使用罗尔定理可得,由此得证。

例3：

设二阶可导，,证明:

思路：要求二阶导为0，则需要三个零点，题目已经给出两个，因此我们只需要从第三个条件中推出一个零点即可。

解：不妨假设，

又由于在上二阶可导，由零点定理

到此，我们得到了三个零点，反复使用罗尔定理就可以得到所证结论。

例4：

设在上连续,且证明：在内至少有两个零点。

常见的错误解法：直接使用积分中值定理

错解：,从而由此得到两个零点，但是实际上这是错误的，因为我们无法确定与是否相等。正确解法：

思路：既然我们无法直接找到函数的两个零点，那么我们可以退而求其次的找其原函数的三个零点，从而达到我们想要的效果。解：令,则.

由于再由积分中值定理得。到此我们得到了三个零点，只需反复使用罗尔定理，就可以得到需证结论。