倒序相加法例题10道

仅供参考。

倒序相加法

例1计算1+3+5+…+(2n-1).

观察这一群相加的数，会发现两两之间的差都是2，有类似特点的数字组合有一个特点，

举例：

如1，3，5，7，9，11

1+11=3+9=5+7=12

也就是前后相应位置的数字的和是相等的.

现在我们就利用这个特点来解决这个问题.

先设：

S=1+3+5+…+(2n-1).

我们把等号右边的式子的顺序再倒过来写一下：

S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+1.

让上面两个式子左右两边对应位置上的数分别相加，得：

2S=1+(2n-1)+3+(2n-3)+5+(2n-5)+…+(2n-1)+1.

即：2S=2n+2n+2n+…+2n.

右边一共有n个2n（怎么计算的？），

∴2S=2n·n=2n2

∴S=n2.

倒叙相加法公式：Sn=n(a1+an)/2）。一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

数列，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在靠前位的数称为这个数列的靠前项即首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示

倒序相加法，是解决数列求和问题的一种经典方法，相传是大数学家高斯在幼年时首先使用。人们因此受到启发，创造了倒序相加法。在等差数列前n项和公式的推导过程中，就使用了这种方法。

据说高斯在9岁时，就发明了一种快速计算等差数列求和的小技巧，在很短的时间内计算完成了他的小学老师在黑板上给出的问题，虽然该问题的详细数字尚有争议，但现在普遍认为这个问题是：计算从1到100这100个自然数之和。高斯所使用的方法是：将第1个数字与最后1个数字相加、第2个数字与倒数第2个数字相加……以此类推，可以得到50对101，所以101×50=5050便是答案。