反三角函数基本公式大全：arcsin与sin互换公式 （高中知识）

2 从y=sin(arcsin x)与y=arcsin(sin x)

说起上一节第3部分【反三角函数的基本运算】中我们掌握了计算反三角函数的一般方法——换元。没有看过或者已经忘记的小伙伴可以戳下面补补课↓

高中和大学都不讲的三角函数知识（二）——反三角函数的定义与基本运算

2.1y=sin(arcsin(x))与y=arcsin(sin(x))

这里我们先来看一个简单的问题，作出下面两个函数的图象：

这两个问题放在一起的时候看起来非常迷惑，但是严谨的换元法会帮助我们解决这个问题。基本的思想就是把“arcsin XX”设为α。第（1）个问题比较简单，过程如下：

注意：任何换元伴随着新元的取值范围。

最终的图象是直线y=x在(-1,-1)到(1,1)的一段。

但是第二个问题没有表面上看起来那么简单，按照一般的换元思路，我们首先得到：

而g(x)=α，也就是说，图象是α与x的关系，而且α必须在一定范围内。首先根据sin α=sin x可以得到

根据α的范围又有

即

综上，得到g(x)的表达式为

至于图象，大致如下：

2.2三角函数与反三角函数的混合运算

利用换元法，我们可以得到以下混合运算的结果：

过程就不再赘述。这里只列举了“三角函数(反三角函数(x))”的结果，是因为它们的定义域是有限的，较为简单；而“反三角函数(三角函数(x))”则较为复杂，有兴趣的读者可以自行研究。