洛必达法则7种例题

①0/0型：

例：x➔0lim(tanx-x)/(x-sinx)【这就是所谓的0/0型,因为x➔0时,分子(tanx-x)➔0,分母x-sinx➔0】

=x➔0lim(tanx-x)′/(x-sinx)′=x➔0lim(sec²x-1)/(1-cosx)=x➔0limtan²x/(1-cosx)【还是0/0型,继续用洛必达】=x➔0lim[(2tanxsec²x)/sinx]=x➔0lim(2sec³x)=2

②∞/∞型

例：x➔(π/2)lim[(tanx)/(tan3x)]【x➔(π/2)时tanx➔+∞,tan3x➔-∞,故是∞/∞型】

=x➔(π/2)lim[(tanx)′/(tan3x)′]=x➔(π/2)lim[(sec²x)/(3sec²3x)]=x➔(π/2)lim[(cos²3x)/3cos²x]【0/0型】

=x➔(π/2)lim(-6cos3xsin3x)/(-6cosxsinx)]=x➔(π/2)lim[(sin6x)/(sin2x)]【还是0/0型】

=x➔(π/2)lim[(6cos6x)/(2cos2x)]=-5/(-2)=3

③0▪∞型,这种情况不能直接用洛必达,要化成0/(1/∞)或∞/(1/0)才能用.

例：x➔0+lim(xlnx)【x➔0+时,lnx➔-∞,故是0▪∞型】

=x➔0+lim[(lnx)/(1/x)]【x➔0+时(1/x)➔+∞,故变成了∞/∞型】

=x➔0+lim[(1/x)/(-1/x²)]=x➔0+lim(-x)=0

④1^∞型,1^∞=e^[ln(1^∞)]=e^(∞▪ln1)=e^(∞▪0)

例：x➔0lim(1+mx)^(1/x)=x➔0lime^[(1/x)ln(1+mx)]【e的指数是0/0型,可在指数上用洛必达】

=x➔0lime^[m/(1+mx)]=e^m

⑤∞°型,∞°=e^(ln∞°)=e^(0▪ln∞)

例：x➔∞limm[x^(1/x)]=x➔∞lime^[(1/x)lnx]【e的指数是∞/∞型,可在指数上用洛必达】

=x➔∞lime^[(1/x)/1]=x➔∞lime^(1/x)°=e°=1

⑥0°型,0°=e^(ln0°)=e^(0ln0)=e^(0▪∞)

例：x➔0lim(x^x)=x➔0lime^(xlnx)=e

⑦∞－∞型,∞－∞=[1/(1/∞)-1/(1/∞)]=[(1/∞)-(1/∞)]/[(1/∞)(1/∞)=0/0]

例：x➔1lim[1/(lnx)-1/(x-1)]=x➔1lim[(x-1-lnx)]/[(x-1)lnx]【这就成了0/0型】

=x➔1lim[1-(1/x)]/[lnx+(x-1)/x]=x➔1lim[(x-1)/(xlnx+x-1)]【还是0/0型】

=x➔1lim[1/(lnx+1+1)]=1/2。