在平面直角坐标系xoy中以原点O为中心

1、根据直线y=kx-3k+4必过点D(3，4)，求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦。

2、再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A(13，0)。

3、求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案.解:∵直线y=kx-3k+4必过点D(3。

4、4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是(3。

5、4)，∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A(13。

6、0)，∴圆的半径为13，∴OB=13。

7、∴BD=12，∴BC的长的最小值为24;故答案为:24.