一元三次方程的解法的推导过程

靠前步：

ax^3+bx^2+cx+d=0

为了方便，约去a得到

x^3+kx^2+mx+n=0

令x=y-k/3，

代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0，

(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k，

k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k，

所以相加后y^2抵消，

得到y^3+py+q=0，

其中p=(-k^2/3)+m，

q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。

第二步：

方程x^3+px+q=0的三个根为：

x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+

+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，

其中w=(-1+i√3)/2。

×推导过程：

1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2；

2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2，

3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。

再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。

设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：

(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0①，

如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，

由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。

解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，

则u^3=A；v^3=B，

u=A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2；

v=B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2，

但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：

u1=A^(1/3)，v1=B^(1/3)；

u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2；

u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，

最后：

方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即

x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)；

x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；

x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。