向量空间

如何证明一个向量组不是一个向量空间的基？

一个向量组要想构成一个向量空间的基，必须具备两个条件，缺一不可：1、该向量组本身是线性无关的。

2、向量空间中任何一个向量都能被该向量组线性表出。

因此上面两条任意一条不成立都可以说明它不是向量空间的基。

举两个例子：1.下列向量组就不是三维向量空间的一组这是因为所以这4个向量之间是线性相关的，因而不能是一组基。

2.下列向量组也不是三维空间的一组基这是因为下面这个三维向量空间中的向量就不能被上述两个向量线性表出

n维空间的集一定是n个n维向量构成，且它们的行列式≠0。

就这么简单，多了都是废话。

所以判断一组n个向量是不是基，就两步：1. 是不是每个向量都是n维？2. 行列式是不是0？稍微废话几句，n维向量少于n个，必然不能线性表示n维空间的所有向量，多于n个，必然存在线性相关。

行列式代表向量张开的空间（平行2n面体）的“超体积”，=0代表是“扁平”退化的，其必然线性相关从而缺失维度。

严格的说只需要第二个判别条件，第一条是被第二条隐含的。