arccosx泰勒展开式

arccosx泰勒展开式是：
令f(x)=(arccosx)'=-1/√(1-x^2)
f(0)=-1，则f'(x)=-x/(1-x^2)^(3/2)=x/(1-x^2)*f(x)
f'(0)=0，即(1-x^2)f'(x)=xf(x)
两边求n阶导：(1-x^2)f^(n+1)(x)-2nxf^(n)(x)-n(n-1)f^(n-1)(x)=xf^(n)(x)+nf^(n-1)(x)
令x=0：f^(n+1)(0)-n(n-1)f^(n-1)(0)=nf^(n-1)(0)
f^(n+1)(0)=n^2f^(n-1)(0)
加上f(0)=-1和f'(0)=0得：
f^(2n+1)(0)=0,f^(2n)(0)=-[(2n-1)!!]^2 (n>0)
所以f(x)=-(1+(1!!)^2/2!*x^2+(3!!)^2/4!*x^4+...+((2n-1)!!)^2/(2n)!*x^(2n)+...)
=-(1+1/2!*x^2+3!!/4!!*x^4+...+(2n-1)!!/(2n)!!*x^(2n)+...)
所以arccosx=π/2+∫(0→x)f(x)dx
=π/2-(x+1/2!*x^3/3+3!!/4!!*x^5/5+...+(2n-1)!!/(2n)!!*x^(2n+1)/(2n+1)+...)
几何意义：
泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。